1. Введение
2. Основные структуры
3. Пределы. Непрерывные функции
4. Производная, дифференциальное исчисление
5. Высшие производные
6. Приложения дифференциального исчисления
7. Первообразная (неопределенный интеграл)
8. Техника вычисления первообразных
9. Определенный интеграл
10. Несобственные интегралы
11. Интегралы зависящие от параметра
12. Приложения определенных интегралов
8. Техника вычисления первообразных
8.3 Интегралы от функций, содержащих иррациональности
Рассмотрим интегралы вида
I=\int R(x, \sqrt[n]{x}, \sqrt[m]{x},..., \sqrt[k]{x})dx,где R(x,y,t,...,s) - дробно-рациональная функция своих аргументов, n,m,...,k -целые положительные числа. Пусть N - наименьшее общее кратное чисел n,m,...,k, положим x=t^N. Тогда \sqrt[n]{x}=t^{N/n}=t^p, причем p - целое число. Аналогичным образом и выражения \sqrt[m]{x},..., \sqrt[k]{x} представляют собой t в целых степенях. При этом dx=Nt^{N-1}dt, так что
I=\int R(t^N, t^p, ..., t^q)\cdot Nt^{N-1}dt,и мы приходим к выводу, что под интегралом - дробно-рациональная функция переменной t. Соответственно, этот интеграл можно вычислить в явном виде и затем вернуться к переменной x, подставляя t=\sqrt[N]{x}.
Аналогичным образом можно вычислить и интеграл вида
I=\int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}, \sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}},..., \sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx,где R(x,y,t,...,s) - дробно-рациональная функция своих аргументов, n,m,...,k -целые положительные числа, a,b,c,d \in \mathbb{R} . В данном случае следует применять подстановку
\frac{ax+b}{cx+d}=t^N,N - наименьшее общее кратное чисел n,m,...,k. Простые вычисления показывают, что и в данном случае эта подстановка приведет интеграл к интегралу от дробно-рациональной функции переменной t.
Задачи.