7. Первообразная (неопределенный интеграл)

7.3 Интегрирование по частям

7.2. Таблица основных первообразных 7.4 Замена переменной в первообразной

Выпишем производную от произведения функций. Согласно формуле Лейбница,

$\left(f(x)g(x)\right )'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$

В терминах первообразной это соотношение означает, что $f(x)g(x)$ является первообразной правой части, так что формулу Лейбница можно записать следующим образом:

$\int \left(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\right )dx=f(x)g(x).$

Немного преобразуем это соотношение,

$\int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx.$

Эта формула и называется формулой интегрирования по частям в первообразной. Ее используют для вычисления некоторых интегралов. Она позволяет "перебросить" дифференцирование с одного из сомножителей в подинтегральном выражении на другой. Иногда при этом получается более простой интеграл, чем исходный, или же появляется возможность вычислить исходный интеграл.

1. Возможны ситуации, когда производная $g'(x)$ является более "простой" функцией, чем сама функция $g(x)$ .

Это верно для функций

$g(x)= x^k, \quad k=1,2,3,..., \quad lnx, \quad arctgx,$

$\quad arcctgx, \quad arcsinx, \quad arccosx.$

2. Возможны ситуации, когда производная $g'(x)$ является функцией "такого же уровня сложности", что и сама функция $g(x)$ . Это верно для функций $g(x)=a^x, \quad \sin x, \quad \cos x$ .

Пример.

Вычислим интеграл

$\int lnx dx.$

В данном случае подинтегральное выражение можно представить в виде произведения 1 и $lnx$ , так что в соответствии с общей схемой запишем: $f'(x)=1$ , $g(x)=lnx$ . Тогда $f(x)=x$ , $g'(x)=1/x$ , и мы имеем:

$\int lnx dx=x\cdot lnx - \int x\cdot \frac{1}{x} dx=x\cdot lnx -\int 1\cdot dx=x\cdot lnx-x$

$+C.$

Задачи.

Вычислить первообразные.

1. $\int xlnxdx.$

2. $\int x\sin xdx.$

3. $\int xe^{-x}dx.$

4. $\int xarctg xdx.$

5. $\int x\cos (2x) dx.$

6. $\int x\cos^2xdx.$

7. $\int x4^xdx.$

8. $\int x^2a^xdx.$

7.2. Таблица основных первообразных 7.4 Замена переменной в первообразной

1. Введение

+2. Основные структуры

3. Пределы. Непрерывные функции +

4. Производная, дифференциальное исчисление+

5. Высшие производные+

6. Приложения дифференциального исчисления+

7. Первообразная (неопределенный интеграл)+

8. Техника вычисления первообразных+

9. Определенный интеграл+

10. Несобственные интегралы+

11. Интегралы зависящие от параметра+

12. Приложения определенных интегралов+

7. Первообразная (неопределенный интеграл)

7.3 Интегрирование по частям