7. Первообразная (неопределенный интеграл)

7.4 Замена переменной в первообразной

7.3 Интегрирование по частям

В дифференциальном исчислении есть формула дифференцирования сложной функции. Ее аналог в интегральном исчислении - формула замены переменной в первообразной. Рассмотрим интеграл

$F(x)=\int f(x)dx.$

Предположим, что мы реализуем замену переменных $x=\phi (t)$ . Как следует переписать интеграл в новых переменных?

Имеем $G(t)=F(\phi (t))$ . Продифференцируем эту (сложную) функцию по $t$ , получим

$\frac{d}{dt}G(t)=\frac{d}{dx}F(x)|_{x=\phi (t)}\cdot \frac{d}{dt}\phi (t)=f(\phi (t))\phi '(t).$

Таким образом, согласно определению первообразной, имеем:

$F(\phi (t))=\int f(\phi (t))\phi '(t)dt.$

если вернуться к исходной переменной $x$ , получим:

$F(x)=\int f(\phi (t))\phi '(t)dt |_{t=\phi ^{-1}(x)}.$

Эти соотношения и позволяют реализовать замену переменной в первообразной.

Пример.

Рассмотрим интеграл

$I=\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}dx.$

В подинтегральной функции есть "неприятность" - квадратный корень. Чтобы ее устранить, реализуем замену переменной: $x=t^2-1$ , $dx=2tdt$ . Подставляя эти соотношения в интеграл, находим:

$I=\int \frac{t^2-1}{t}\cdot 2tdt=2\int (t^2-1)dt=2(t^3/3-t)+C=$

$\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2(x+1)^{1/2}+C.$

Задачи.

Вычислить первообразные.

$\int \frac{\sqrt{lnx}}{x}dx.$ 2.

$\int \frac{x}{\sqrt[3]{x^2+1}}dx.$ 3.

$\int \frac{dx}{(arcsinx)^3\sqrt{1-x^2}}.$ 4.

$\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^8}}dx.$ 5.

$\int \frac{dx}{\cos ^2x(3tgx+1)}.$ 6.

$\int \frac{\cos (3x)dx}{4+\sin(3x)}.$ 7.

$\int \frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}.$ 8.

$\int \frac{x^2dx}{\sqrt{x-1}}.$ 9.

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x-1}}.$ 10.

$\int \frac{\sqrt{x}dx}{x+1}.$

7.3 Интегрирование по частям