1. Введение
2. Основные структуры
- 2.1 Элементы теории множеств
- 2.2 Операции с множествами
- 2.3 Функции и способы их задания
- 2.4 Числовые последовательности
3. Пределы. Непрерывные функции
- 3.1 Предел последовательности
- 3.1.1 Определения
- 3.1.2 Арифметика пределов
- 3.1.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.1.4 Признаки существования пределов
- 3.1.5 Вычисление пределов
- 3.1.6 Замечательный предел
- 3.2 Функции непрерывной переменной
- 3.2.1 Определения
- 3.2.2 Арифметика пределов
- 3.2.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.2.4 Признаки существования пределов
- 3.2.5 Замечательные пределы
- 3.2.6 Список важнейших предельных соотношений
- 3.3 Непрерывные функции
- 3.3.1 Определения
- 3.3.2 Основные свойства
- 3.3.3 Разрывы функции
4. Производная, дифференциальное исчисление
- 4.1 Производная
- 4.1.1 Определение производной
- 4.1.2 Производный от элементарных функций
- 4.1.3 Производный от суммы, произведения и частного функций
- 4.1.4 Производные от сложной функции, от обратной функции, от функции, заданной параметрически
- 4.1.5 Таблица производных
- 4.2 Первый дифференциал
- 4.2.1 Определение и основные свойства первого дифференциала
- 4.2.2 Геометрический смысл первого дифференциала
- 4.2.3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала
- 4.3 Свойства дифференцируемых функций
- 4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей
5. Высшие производные
- 5.1 Определение и свойства высших производных
- 5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков
- 5.3 Теорема Тейлора
- 5.4 Формула Тейлора для некоторых функций
6. Приложения дифференциального исчисления
- 6.1 Монотонность функции и знак ее производной
- 6.2 Достаточное условие локального максимума/минимума
- 6.3 Решение задачи о глобальном максимуме/минимуме функции на замкнутом отрезке
- 6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба
7. Первообразная (неопределенный интеграл)
- 7.1 Определение и основные свойства первообразных
- 7.2 Таблица основных первообразных
- 7.3 Интегрирование по частям
- 7.4 Замена переменной в первообразной
8. Техника вычисления первообразных
- 8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
- 8.1.1 Полиномы, основные свойства
- 8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
- 8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
- 8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
- 8.2 Интегралы от тригонометрических функций
- 8.3 Интегралы от функций, содержащих иррациональности
- 8.4 Подстановки Эйлера
- 8.5 "Неберущиеся" интегралы
9. Определенный интеграл
- 9.1 Определение
- 9.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- 9.3 Основные свойства
- 9.4 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.4.1 Интеграл как функция верхнего предела
- 9.4.2 Формула Барроу
- 9.4.3 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.5 Интегрирование по частям в определенном интеграле
- 9.6 Замена переменной в определенном интеграле
10. Несобственные интегралы
- 10.1 Несобственные интегралы 1 рода
- 10.1.1 Определение и основные свойства
- 10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
- 10.2 Несобственные интегралы 2 рода
- 10.2.1 Определение и основные свойства
- 10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода
11. Интегралы зависящие от параметра
12. Приложения определенных интегралов
12. Приложения определенных интегралов
12.2 Длина дуги кривой
Рассмотрим сначала кривую в $n$-мерном пространстве. Пусть ее точки параметризованы параметром $t$, так что их координаты можно выразить как функции этого параметра, $(x_1(t), x_2(t), ..., x_n(t)$, эти функции будем считать дифференцируемыми. Сам параметр $t$ принимает значения в интервале $\left[ T_1, \, T_2\right]$, рис.10. Заменим кривую на ломаную - набор примыкающих друг к другу отрезков, на рис.10 отмечен один из них. Пусть длина этого отрезка
\[ \Delta s=\sqrt{(\Delta x_1)^2+(\Delta x_2)^2+....+(\Delta x_n)^2}. \]Для каждого выражения $\Delta x_m$ можно применить формулу Лагранжа, так что $\Delta x_m=x'_m(t_k)\Delta t_k$ для некоторой точки $t_k$.
Складывая подобные выражения для всех отрезков ломаной, получаем длину ломаной - интегральную сумму:
\[ L\approx\sum _{k=1}^{N}\Delta s_k=\sum _{k=1}^{N}\Delta t_k\sqrt{(x'_1(t_k))^2+(x'_2(t_k))^2+...+(x'_n(t_k))^2}. \]Переходя к пределу $max_k \Delta t_k \rightarrow 0$, получаем интеграл, выражающий длину кривой:
\begin{equation} L=\int _{T_1}^{T_2}dt\sqrt{(x'_1(t))^2+(x'_2(t))^2+...+(x'_n(t))^2}. (27) \label{length} \end{equation}
Рис 10: Длина кривой.
Рассмотрим теперь варианты параметризации.
1. Плоская кривая ($n=2$) в декартовых координатах. В этом случае обычно кривую задают соотношением $y=f(x)$, так что в качестве параметра $t$ выступает переменная $x \in \left[a, \, b\right]$. При этом $x_1=x, \quad x_2=y$, $T_1=a, \, T_2=b$. Отсюда следует: $dx_1/dt=1, \quad dx_2/dt=f'(x)$, так что в этом случае
\[ L=\int _a^bdx\sqrt{1+(f'(x))^2}. \]2. Плоская кривая ($n=2$) в полярных координатах. В этом случае кривую обычно задают соотношением $r=R(\varphi )$, $\varphi \in \left[A, \, B \right]$. При этом $x_1=x=r\cos \varphi, \quad x_2=y=r\sin \varphi$, в качестве параметра $t$ выступает переменная $\varphi $. Вычисляем $dx_1/dt=dx/d\varphi =\cos \varphi \cdot dR/ d\varphi -R\cdot \sin \varphi$, $dx_2/dt=dy/d\varphi =\sin \varphi \cdot dR/d\varphi +R\cdot \cos \varphi $. Подставляя в (27), получаем:
\[ L=\int _A^Bd\varphi \sqrt{R^2(\varphi )+(R'(\varphi ))^2}. \]Задачи.