4. Производная, дифференциальное исчисление

4.2.1 Определение и основные свойства первого дифференциала

Пусть в некоторой окрестности точки $x_0$ задана функция $y=f(x)$, причем $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$.

Определение. Первым дифференциалом функции $f(x)$ в точке $x=x_0$ называется выражение $df(x_0,\Delta x)=f'(x_0)\cdot \Delta x$, где величина $\Delta x$ предполагается достаточно малой.

Замечание. Если $f(x)=x$, то имеем: $dx=\Delta x$. Это равенство выполняется, когда $x$ является независимой переменной.

Из определения производной следует, что \[ \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \xrightarrow[\Delta x\to 0]{} f'(x_0), \] так что \[ \frac{\Delta f}{\Delta x} - f'(x_0) = \alpha (\Delta x), \quad \alpha (\Delta x)\xrightarrow[\Delta x\to 0]{} 0. \] Умножая на $\Delta x$, получаем: \[ \Delta f=df(x_0, \Delta x)+\alpha (\Delta x)\cdot \Delta x, \quad \alpha (\Delta x)\xrightarrow[\Delta x\to 0]{} 0. \]

Следовательно, при малых $\Delta x$ имеем приближенное равенство: \[ \Delta f \approx df. \]

Это приближенное равенство (и его аналоги) играют ключевую роль в приближенных вычислениях.

Описанные выше свойства производной приводят к соответствующим свойствам первого дифференциала. Если заданы две дифференцируемые функции $u(x)$, $v(x)$, то

1. $d(c \cdot u)=c \cdot du$.

2. $d(u+c)=du$.

3. $d(u+v)=du+dv$.

4. $d(u\cdot v)=du \cdot v+u \cdot dv.$

5. $d(u/v)=(du\cdot v-u\cdot dv)/v^2.$

4.2.2 Геометрический смысл первого дифференциала

Рассмотрим график функции $y=f(x)$ в окрестности точки $x$ и касательную к графику, проведенную через точку $(x,f(x)$.

Рис 3: К геометрическому смыслу первого дифференциала

Из картинки ясно, что отрезок $df$ - это то, что отсекают касательная и прямая $y=f(x)$ на вертикальной прямой, проходящей через $x+\Delta x$.

4.2.3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала

Пусть $y=f(x)$, $z=h(y)$, причем эти функции дифференцируемы при всех интересующих нас $x,y$. Подставляя $y=f(x)$ в аргумент функции $z=h(y)$, получим сложную функцию $z=h(f(x))$. Выпишем ее первый дифференциал, \[ dz=\left(h(f(x))\right)'\Delta x. \] Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: \[ dz=\frac{dh}{dy}\cdot \frac{df}{dx}\Delta x. \] Однако согласно определению первого дифференциала, $\frac{df}{dx}\Delta x =dy$, так что предыдущее равенство переписывается в виде: \[ dz=\frac{dh}{dy}dy. \]

Это равенство выглядит точно также, как если бы мы полагали нашу функцию зависящей от независимой переменной $y$, забыв о том, что мы имеем дело со сложной функцией. Этот факт и называется инвариантностью первого дифференциала.

Задачи.