6. Приложения дифференциального исчисления

6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба

6.3 Решение задачи о глобальном max/min функции на замкнутом отрезке

С помощью формулы Тейлора второго порядка можно более детально описать поведение функции.

Функция $f(x)$ называется выпуклой вверх в точке $x_0$ , если в некоторой окрестности этой точки график функции лежит ниже касательной к графику в этой точке.

Рис 6: Выпуклая вверх в точке $x_0$ функция.

Эта ситуация изображена на рис. 6. Аналогично определяется и выпуклость вниз.

Определение. Точка называется точкой перегиба, если в некоторой окрестности точки слева от этой точки и справа от нее функция имеет разный характер выпуклости (например, в точках слева - выпуклость вверх, в точках справа - выпуклость вниз).

Пусть $f(x)$ имеет непрерывную вторую производную на интервале $(a,b)$ . Если на этом интервале $f''(x)< 0$ , функция $f(x)$ является выпуклой вверх во всех точках этого интервала.

Доказательство.

Для доказательства выпишем формулу Тейлора второго порядка для функции $f(x)$ :

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi )(x-x_0)^2,$

где точка $\xi$ лежит между точками $x$ и $x_0$ . Последнее слагаемое, согласно условиям теоремы, отрицательно, так что

f(x) < f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).

Однако уравнение касательной к графику, проходящей через точку $(x_0,f(x_0))$ как раз совпадает с выражением, выписанном справа: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ .

Таким образом, график функции лежит ниже графика касательной. Выбор точки $x_0\in (a,b)$ был произволен, так что функция выпукла вверх во всех точках интервала $(a,b)$ . ч.т.д.

Аналогичный результат (с переменой знака второй производной) может быть сформулирован и для выпуклости вниз.

В соответствии с этими результатами для функции, имеющей непрерывную вторую производную, точками перегиба являются те точки, в которых вторая производная меняет знак.

Пример.

Рассмотрим функцию $f(x)=x^3$ . Вычислим ее вторую производную, получим $f''(x)=6x$ . При $x>0$ вторая производная положительна - так что функция при этих $x$ выпукла вниз. При $x< 0$ вторая производная отрицательна - так что функция при этих $x$ выпукла вверх. В точке $x=0$ имеем точку перегиба - слева и справа от нее характер выпуклости функции разный.

Задачи.

1. Показать, что функция $f(x)=x^2+x^4$ везде выпукла вниз.

2. При каких значениях $a,b$ точка $A(3,1)$ является точкой перегиба кривой $f(x)=ax^2+bx^3$ ?

6.3 Решение задачи о глобальном max/min функции на замкнутом отрезке

1. Введение

+2. Основные структуры

3. Пределы. Непрерывные функции +

4. Производная, дифференциальное исчисление+

5. Высшие производные+

6. Приложения дифференциального исчисления+

7. Первообразная (неопределенный интеграл)+

8. Техника вычисления первообразных+

9. Определенный интеграл+

10. Несобственные интегралы+

11. Интегралы зависящие от параметра+

12. Приложения определенных интегралов+

6. Приложения дифференциального исчисления

6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба